Supongamos que L fuese libre de contexto y sea n la constante especificada en el Lema de Bombeo. Consideremos la palabra z=aⁿbⁿcⁿ∈L, que tiene una longitud mayor que n.
Consideremos que z se puede descomponer de la forma z=vuwxy, verificando las condiciones del lema.
Como |uwx|≤ n, no es posible para ux tener símbolos a y c al mismo tiempo: entre la última a y la primera c hay n símbolos.
En estas condiciones se pueden dar los siguientes casos:

• |ux| contiene solamente símbolos a. En este caso para i=0, vu⁰wx⁰y=vwy deberia de pertenecer a L por el Lema de Bombeo. Pero vwy contiene n símbolos b, n si símbolos c, menos de n símbolos a, con lo que no podria pertenecer a L y se obtiene una contradicción.